内容简介
微分拓扑是20世纪成就和影响最大的数学分支之一，在许多学科领域有广泛重要的应用。1983年诺贝尔经济奖的得主曾生动地讲述微分拓扑方法帮助他实现关键性的突破。世界著名大学都将微分拓扑列为大学生和研究生的重要课程并列为博士资格考试的重要科目。
本书是根据作者近年来多次在北京大学讲授"微分拓扑"课的讲稿写成。全书共十二章，前两章和附录较详细地介绍必要的预备知识，第三章至第十二章讲述微分拓 扑的基本概念与基本方法并配有重要应用的例子。全书的讲解很注重启发性，所选材料有广泛的应用面，体现了学科现代化的大趋势，适应于数学、计算、力学、物 理、经济等多个学科大学生、研究生和科技工作者的需要。本书前身《微分拓扑讲义》曾荣获中华人民共和国教育部2000年科学技术进步奖二等奖。
本书可作为综合大学和高等师范院校数学、计算、力学、物理、经济等学科高年级大学生和研究生的教材，也可供青年数学教师和科技工作者阅读。
目录
关于编号的说明
关于某些符号与用语的说明
第一章 预备知识
1 逆函数定理
2 代数基本定理的"拓扑"证明
3 微分流形
4 可微映射
5 切空间与切映射
附录a 函数芽的概念与余切空间
练习A
第二章 第二可数性质，仿紧性质与单位分解
1 第二可数性质
2 局部紧性质
3 仿紧性质
4 单位分解
5 紧流形嵌入Euclid空间
练习B
第三章 Whitney嵌入定理
1 零测集
.2 Whitney浸入定理
3 常态映射与Whitney嵌入定理
练习C
第四章 向量丛与管状邻域定理，映射的光滑化与同伦的
光滑化
1 引例
2 向量丛的概念
3 子丛，Riemann度量，正交补丛
4 管状邻域定理证明的准备
5 管状邻域定理
6 映射的光滑化与同伦的光滑化
附录B 更一般的管状邻域定理
练习D
第五章 正则值与横截性
l 正则值与Sard定理
2 横截性
3 横截逼近定理
4 关于映射的Cr拓扑与Cr意义下的逼近
5 参数横截性定理与涉及带边流形的定理
附录r Sard定理的证明
练习E
第六章 向量场与流，Morse函数
1 向量场与流
2 流形的匀齐性
3 带边流形的领圈邻域与倍流形
4 Morse函数
练习F
第七章 一维流形的分类与Brouwer不动点定理
1 一维微分流形的分类
2 Brouwer不动点定理
练习G
第八章 模2映射度与Borsuk-Ulam定理
1 模2映射度
2 模2环绕数
3 Borsuk-Ulam定理
练习H
第九章 定向映射度与Hopf定理
1 可定向流形
2 定向映射度与定向环绕数
3 Hopf定理
练习I
第十章 局部映射度，Leray乘积公式与Jordan-Brouwer
分离定理
1 映射度定义的局部化
2 Leray乘积公式
3 Jordan-Brouwer分离定理
4 紧致超曲面的分离性质
练习J
第十一章 相交数，向量场奇点的指标与Poincare-Hopf
定理
1 模2相交数
2 定向相交数
3 相交数定义的局部化
4 向量丛截面的光滑化与横截逼近
5 向量场孤立零点的指标
6 Poincare-Hopf定理
练习K
第十二章 映射度的积分表示与Gauss-Bonnet公式
1 映射度的积分表示
2 Gauss-Bonnet公式
练习L
附录6 外微分形式的积分与一般Stokes定理
参考文献
术语索引
符号索引
3 常态映射与Whitney嵌入定理
练习C
第四章 向量丛与管状邻域定理，映射的光滑化与同伦的
光滑化
1 引例
2 向量丛的概念
3 子丛，Riemann度量，正交补丛
4 管状邻域定理证明的准备
5 管状邻域定理
6 映射的光滑化与同伦的光滑化
附录B 更一般的管状邻域定理
练习D
第五章 正则值与横截性
l 正则值与Sard定理
2 横截性
3 横截逼近定理
4 关于映射的Cr拓扑与Cr意义下的逼近
5 参数横截性定理与涉及带边流形的定理
附录r Sard定理的证明
练习E
第六章 向量场与流，Morse函数
1 向量场与流
2 流形的匀齐性
3 带边流形的领圈邻域与倍流形
4 Morse函数
练习F
第七章 一维流形的分类与Brouwer不动点定理
1 一维微分流形的分类
2 Brouwer不动点定理
练习G
第八章 模2映射度与Borsuk-Ulam定理
1 模2映射度
2 模2环绕数
3 Borsuk-Ulam定理
练习H
第九章 定向映射度与Hopf定理
1 可定向流形
2 定向映射度与定向环绕数
3 Hopf定理
练习I
第十章 局部映射度，Leray乘积公式与Jordan-Brouwer
分离定理
1 映射度定义的局部化
2 Leray乘积公式
3 Jordan-Brouwer分离定理
4 紧致超曲面的分离性质
练习J
第十一章 相交数，向量场奇点的指标与Poincare-Hopf
定理
1 模2相交数
2 定向相交数
3 相交数定义的局部化
4 向量丛截面的光滑化与横截逼近
5 向量场孤立零点的指标
6 Poincare-Hopf定理
练习K
第十二章 映射度的积分表示与Gauss-Bonnet公式
1 映射度的积分表示
2 Gauss-Bonnet公式
练习L
附录6 外微分形式的积分与一般Stokes定理
参考文献
术语索引
符号索引
序言
微分拓扑是20世纪成就和影响最大的数学分支之一．因与微分拓扑有关的研究而获得Fields奖殊荣的数学家就有好几位．许多国家的著名大学都将"微分拓 扑"列为大学生和研究生的重要课程并且列为博士资格考试的重要科目．微分拓扑在其他学科领域也有重要的应用．1983年诺贝尔经济学奖的得主Gerard Debreu在获奖演说中，对于微分拓扑的方法帮助他实现关键性的突破曾有生动的描述．(该获奖演说的译文"数学思辨模式的经济理论"载于《数学进展》杂 志第17卷第3期(1988年7月) 微分拓扑的教材，较早且影响深远的有1958年Milnor在Princeton大学讲授微分拓扑的讲义(序言附记中所列的参考书[1])．到了20世纪 60年代，先后出现了两本讲述微分拓扑的非常精彩的小册子．1963年出版的Munkres的《初等微分拓扑学》(序言附记中的[2])，着重介绍某些最 基本的微分拓扑技术手段(他所称的"初等"技术)．1965年出版的Milnor的《从微分观点看拓扑》(序言附记中的[3])更为人们所珍爱．该书侧重 于用微分的技术手段解决拓扑问题，对许多经典的拓扑定理作了简单明快引人人胜的处理．稍后出版的微分拓扑教材还有序言附记中列出的[4]，[5]和[6] 等，其中[4]着重于用微分技术解决拓扑问题(可以看成是[3]的延伸);[6]着重于介绍基本概念与基本技术；[5]则对两方面都有所兼顾。
笔者多年来在北京大学给研究生和部分高年级大学生讲授微分拓扑课程．这本讲义就是整理积累的讲稿写成的．作为研究生基本课程的教材，应该有较宽广的适应 面。笔者希望能兼顾"基本技术"与"解决重要而又有魅力的问题"等方面．序言附记中列出的参考书[1]-[6]都可作为阅读本书的重要参考资料(书末还列 有其他参考文献)．学习这门课程的预备知识是有关微分流形的一些最基本的概念与事实．本书的第一章对所需的预备知识作了简单扼要的讲解(书中的第一章，第 二章和最后的附录6是流形论基础知识的一个概述)．本书第三章至第六章重点讲解微分拓扑学的一些最基本的概念并重点介绍一些典型的技巧方法，这些都是学习 微分拓扑所必须掌握的．第七章至第十二章一方面继续讲解某些重要概念，另一方面着重于介绍基本概念和典型技巧方法的广泛应用．各章所证明的著名定理对数学 的各分支及其他许多学科的研究与应用都是非常重要的．在整理讲稿的时候，笔者曾为叙述的启发性而煞费苦心，希望能避免过分的形式化而强调问题的实质．第四 章讲解向量丛与管状邻域、映射的光滑化与同伦的光滑化等非常重要的内容，却从很简单的引例开始，力图做到形象生动并且深入浅出．对初学者而言，在各章的学 习过程中自己举出一些实例并且画一些适当的示意图形以帮助理解，仍然是很有必要的．笔者热诚欢迎读者们的意见和建议．笔者诚挚地感谢姜伯驹教授和李忠教授 对本书出版的支持，感谢责任编辑刘勇所做的细致工作．
根据笔者的经验，本书的材料适用于每周授课3学时的一学期课程．如果希望对内容作适当的删减以开设一个较少学时的课程，那么以下一些建议或许有所帮助：
(1)如果学生对点集拓扑和微分流形的基础知识已经有了较好的理解，那么第一章和第二章的大部分内容都不必在课堂上讲授．
(2)第三章和第四章所介绍的嵌入与管状邻域技术是很重要的．但应强调的是Whitney嵌入定理与管状邻域定理的结论．可以概要介绍这些定理证明的基本思路与重要的技术手段．至于这些定理证明的细节处理，在讲课的时候却是大可省略的．
(3)第五章§3和§4的材料亦可省略．因为在该章的§5中利用参数横截定理所作的关于横截逼近定理的证明，适用于无边流形与带边流形这两种情况．
(4)第六章§4的材料可以留给学生自己去看，不一定在课堂上详细讲述．
(5)第八章至第十二章的材料可以根据实际情况有选择有重点地讲述其中的一部分．例如，可以重点地讲述模2情形的映射度和相交数，然后通过类比简单地介绍定向情形的相应结论(省去大部分证明)．
张筑生
1995年7月写于北京大学
2002年1月稍作修改
