《数学是什么》[PDF]

数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理及对完美境界的追求。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。虽然不同的传统学派可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用，以及它们综合起来的努力，才构成了数学科学的生命力、可用性和它的崇高价值。

毫无疑问，数学的一切进展都不同程度的植根于实际的需要。但是理论一旦在实际的需要中被推动了，就不可避免的会使它自身获得发展的动力，并超越出直接使用的界限。这在应用学科和理论学科的发展历史中，经常出现这种情况。今天，在许多工程师和物理学家所写的有关近代数学的论文中，也是屡见不鲜的。

大约在公元前两千年，东方国家出现有记载的数学，巴比伦人积累了极其丰富的资料，这些资料今天看来应属于初等代数的范围。至于数学作为现代意义的一门科学，则是直到公元前四至五世纪才在古希腊出现的。东方人和希腊人之间的接触不断增多（始于波斯帝国时期，至亚历山大时期达到高峰），使希腊人得以熟习巴比伦人在数学和天文学方面的成就，很快数学问题便风行于希腊城邦的哲学讨论之中。因而希腊的思想家逐渐意识到，数学中存在着若干极困难的概念，如连续性、运动、无限性，以及在用已知的单位量度量任意量的问题中。这些难题经过了艰辛的努力后，产生了欧多克斯的几何连续统理论，它堪于两千多年后的现代无理数理论相媲美。数学中这种公理演绎法就是从欧多克斯时代逐步发展起来的，又在欧几里得的“几何原本”中得以充分表达。

虽然希腊数学的理论化和公理化得倾向一直是它的一个重要特点，并且曾产生过巨大的影响。但是，对这一点我们不能过分强调，因为在古代数学中，应用以及同客观实际想结合相结合起了同样重要的作用，而且严谨性较欧几里得几何原本差的表达方式通常更受欢迎。

由于较早的发现了有关“不可公度”量的困难，希腊人没能先于东方人掌握的数值计算的技术，他们改变方向，专注于研究如何突破纯粹公理化几何的障碍。于是科学史上出现了一段迂回曲折，这意味着一个很好的机会可能被错过了。几乎长达两千年之久，希腊几何的倾向性严重障碍了数的概念和代数运算的正常进展，而正是这些进展构成了近代科学的基础。

经历了一个漫长的酝酿过程，直到十七世纪，随着解析几何与微积分的发展，数学和科学又进入了生机勃勃的大变革时期。此时，虽然希腊的几何学仍然占有重要的地位，但是希腊人对于公理体系的定型和系统的推演的兴趣，在十七、十八世纪逐渐消失，从一些明确的定义和显见的互不矛盾的公理出发，进行严密的逻辑推理，这对于数学科学新的开拓者来说，似乎已无关紧要了。通过直观的猜想、严谨的推理和无意识的神秘主义，以及对形式推理方法的力量的盲目自信，他们开拓了一个蕴藏着无尽宝藏的数学世界。但是后来，大发展引起的狂热逐渐让位于一种克己精神。到了十九世纪，由于学科严密化的内在需要，且同时受到法国大革命激起的扩大高等教育的热情的影响，要求其内容更加可靠的呼声日益高涨，就不可避免地要校验这些新数学，特别是微积分及其极限概念的基础。因此十九世纪不仅成为一个新的发展时期，同时也成功的返回到严格证明的古典理想时期。在这方面，它甚至胜过了希腊科学的模式。于是，重心再次向逻辑纯粹性和抽象性的一侧偏去。时至今日，我们仍处于这个时期。然而人们期望纯粹数学和实际应用脱节的局面经历一个批的修正阶段判性，进入一个两者紧密结合的新时代。恢复数学本来面目的力量，特别是在清晰理解的基础上得到认识上的极大简化，使得人们有可能在不忽略应用的前提下来掌握数学理论。再次建立纯数学和应用科学之间的有机结合，抽象的共性和丰富多采的个性之间的合理平衡，这将是今后数学工作者的首要任务。

这不是对数学进行详细的哲学或心理学分析的地方。但是有几点必须强调一下，目前过分强调数学的公理演绎的风气，似乎有盛行起来的危险。事实上，那种创造发明的要素和起指导和推动作用的要素，虽然不能用简单的哲学公式来表达，但是它们却包含着任一数学成就的核心，即使在最抽象的科学领域中也是如此。如果说固定程式的演绎形式是目标的话，那么通过作图来直观的表达至少也是一种原动力。有一种观点对科学是严重的威胁，它断言数学不是别的东西，而只是从定义和公理退导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须互不矛盾外，完全出自数学家的随意创造。如果这个说法是正确的话，数学就不会吸引任何有理智的人，它将成为定义、规则和三段论的游戏，既没有动力也没有目标。有人认为，有才智的人凭灵感能处理有意义的公理系统，这种看法是不可信的但部分真实的曲解。只有在视数学为有机整体的基础上，在客观需要的引导下，自由的思维才能获得具有科学价值的成果。

尽管逻辑分析的思辩趋势并不代表数学的全部，但它却引导人们对数学事实和它们相互间的依存关系有了更深刻的理解，并对数学中的概念有了更深刻的理解。也由此展现出近代数学观点，它标志着普遍的科学水平。

不论人们的哲学观点如何，就科学观察的目的来说，在于从总体上把握事物与感知的材料或媒介间的所有可能关系。当然单凭感觉并不能构成知识和见解，它必须与某些基本的实体即“自在之物”相契合、相印证。所谓“自在之物”并不是直接从物理观察得到的东西，而是属于形而上学的。然而，对于科学方法来说，重要的是放弃带有形而上学性质的实体，而去研究那些通常作为概念和理论直接来源的可观察的事实，摒弃理解“自在之物”、认识“终极真理”以及阐明世界的内在本质等目标，这对笃诚的信奉者来说，可能精神上难以接受，但它确实是近代科学思维最有益的一种转变。

物理学上所取得的一些最伟大的成就，正是由于敢于坚持摒弃“形而上学”这个原则的结果，当爱因斯坦试图把“在不同位置同时发生的事件”的概念转变为可观察的现象时，他摒弃了认为上述概念必须有自身的科学意义的形而上学的偏见，从而发现了相对论的关键所在。当玻耳和他的学生们分析了下述事实，即任何物理观测，必定伴随着观测工具对被观测对象的一种影响，从而得知，同时准确的测定一个质点的位置和速度在物理学意义上是不可能的。这个发现的深远意义已体现在近代量子力学的理论中，而为每个物理学家所熟知。在十九世纪流行着一种观念，认为空间中质点受力和机械运动都是自在之物，而电、光、磁都必须转化或解释为力学现象，正如以前处理“热”的方法那样。人们发明了一种假想的介质“以太”，但它不能对光电作出力学运动的解释。逐渐地，人们认识到以太是观测不到的，他属于形而上学，而不属于物理学。于是有些人表示遗憾，而另一些人则表示慰籍，最终，光与电的力学解释以及与之联系的以太都被摒弃了。

数学中有些情况与此相似，且表现得更为突出。长久以来，数学家把他们的研究对象，例如数、点等，考虑为真实的自在之物。因为这些实体通常采用相应的描述来定义，直到十九世纪，数学家才认识到，这些对象的实际描述对数学来说是全然没有意义的。与这些对象有关的阐述并不涉及到真正的实体，它们只是阐明了这些数学上不予定义的对象之间的相互关系，以及它们所遵循的运算法则。至于点、线、数实际上是什么，实际上不可能也不必要在数学科学中去讨论它们。关键在于结构与关系要与可验证的事实相符合，如：两点决定一直线，按照一定法则由一些数形成其它一些数等等。近代数学公理化进展中最重要且最有效的成果之一，就是明确地认识到数学的基本概念并不必须具体化。

幸好创造性的思维经常冲破教条主义哲学信念的束缚而继续发展着，凡是坚持后者的必然妨碍获得建设性的新成就。不论对专家还是普通人，唯一能回答“数学是什么？”这个问题的，是数学的自身经验而不是哲学。

作者简介
R·柯朗（Richard Courant）是20世纪杰出的数学家，哥廷根学派重要成员。他生前是纽约大学数学系和数学科学研究院的主任，该研究院后被重命名为柯朗数学科学研究院。他写的书《数学物理方程》为每一个物理学家所熟知；而他的《微积分学》已被认为是近代写得最好的该学科的代表作。
H·罗宾Herbert Robbins）是新泽西拉特杰斯大学的数理统计教授。
I·斯图尔特（Ian Stewart）是沃里克大学的数学教授，并且是《自然界中的数和上帝玩色子游戏吗》一书的作者；他还在《科学美国人》杂志上主编《数学娱乐》专栏；他因使科学为大众理解的杰出贡献而在1995年获得了皇家协会的米凯勒法拉第奖章。

什么是数学
第1章 自然数
引言
§ 1 整数的计算
§ 2 数系的无限性 数学归纳法
第1章补充 数论
引言
§ 1 素数
§ 2 同余
§ 3 毕达哥拉斯数和费马大定理
§ 4 欧几里得辗转相除法
第2章 数学中的数系
引言
§ 1 有理数
§ 2 不可公度线段 无理数和极限概念
§ 3 解析几何概述
§ 4 无限的数学分析
§ 5 复数
§ 6 代数数和超越数
第2章补充 集合代数
第3章 几何作图 数域的代数
引言
第1部分 不可能性的证明和代数
§ 1 基本几何作图
§ 2 可作图的数和数域
§ 3 三个不可解的希腊问题
第2部分 作图的各种方法
§ 4 几何变换 反演
§ 5 用其他工具作图 只用圆规的马歇罗尼作图
§ 6 再谈反演及其应用
第4章 射影几何 公理体系 非欧几里得几何
§ 1 引言
§ 2 基本概念
§ 3 交比
§ 4 平行性和无穷远
§ 5 应用
§ 6 解析表示
§ 7 只用直尺的作图问题
§ 8 二次曲线和二次曲面
§ 9 公理体系和非欧几何
附录 高维空间中的几何学
第5章 拓扑学
引言
§ 1 多面体的欧拉公式
§ 2 图形的拓扑性质
§ 3 拓扑定理的其他例子
§ 4 曲面的拓扑分类
附录
第6章 函数和极限
引言
§ 1 变量和函数
§ 2 极限
§ 3 连续趋近的极限
§ 4 连续性的精确定义
§ 5 有关连续函数的两个基本定理
§ 6 布尔查诺定理的一些应用
第6章 补充 极限和连续的一些例题
§ 1 极限的例题
§ 2 连续性的例题
第7章 极大与极小
引言
§ 1 初等几何中的问题
§ 2 基本极值问题的一般原则
§ 3 驻点与微分学
§ 4 施瓦茨的三角形问题
§ 5 施泰纳问题
§ 6 极值与不等式
§ 7 极值的存在性 狄里赫莱原理
§ 8 等周问题
§ 9 带有边界条件的极值问题 施泰纳问题和等周问题之间的联系
§ 10 变分法
§ 11 极小问题的实验解法 肥皂膜实验
第8章 微积分
引言
§ 1 积分
§ 2 导数
§ 3 微分法
§ 4 莱布尼茨的记号和“无穷小”
§ 5 微积分基本定理
§ 6 指数函数与对数函数
§ 7 微分方程
第8章 补充
§ 1 原理方面的内容
§ 2 数量级
§ 3 无穷级数和无穷乘积
§ 4 用统计方法得到素数定理
第9章 最新进展
§ 1 产生素数的公式
§ 2 哥德巴赫猜想和孪生素数
§ 3 费马大定理
§ 4 连续统假设
§ 5 集合论中的符号
§ 6 四色定理
§ 7 豪斯道夫维数和分形
§ 8 纽结
§ 9 力学中的一个问题
§ 10 施泰纳问题
§ 11 肥皂膜和最小曲面
§ 12 非标准分析
附录 补充说明 问题和习题
算术和代数
解析几何
几何作图
射影几何和非欧几何
拓扑学
函数、极限和连续性
极大与极小
微积分
积分法
参考书目1
推荐阅读(参考书目2)