《图论》北京师范大学

图论〔Graph Theory〕是数学的一个分支。它以图为研究对象。图论中的图是由若
干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的
某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系
。
图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立地
建立过。关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论着中，他所考虑的原始问
题有很强的实际背景。
图论起源于著名的柯尼斯堡七桥问题。在柯尼斯堡的普莱格尔河上有七座桥将河中
的岛及岛与河岸联结起来，如下图所示，A、B、C，D表示陆地。
问题是要从这四块陆地中任何一块开始，通过每一座桥正好一次，再回到起点。然
而无数次的尝试都没有成功。欧拉在1736年解决了这个问题，他用抽象分析法将这
个问题化为第一个图论问题：即把每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用联接
相应的两个点的一条线来代替，从而相当于得到一个「图」（如下图）。欧拉证明
了这个问题没有解，并且推广了这个问题，给出了对於一个给定的图可以某种方式
走遍的判定法则。这项工作使欧拉成为图论〔及拓扑学〕的创始人。
1859年，英国数学家哈密顿发明了一种游戏：用一个规则的实心十二面体，它的
20个顶点标出世界著名的20个城市，要求游戏者找一条沿着各边通过每个顶点刚好
一次的闭回路，即「绕行世界」。用图论的语言来说，游戏的目的是在十二面体的
图中找出一个生成圈。这个问题后来就叫做哈密顿问题。由於运筹学、计算机科学
和编码理论中的很多问题都可以化为哈密顿问题，从而引起广泛的注意和研究。
在图论的历史中，还有一个最著名的问题——四色猜想。这个猜想说，在一个平面
或球面上的任何地图能够只用四种颜色来着色，使得没有两个相邻的国家有相同的
颜色。每个国家必须由一个单连通域构成，而两个国家相邻是指它们有一段公共的
边界，而不仅仅只有一个公共点。四色猜想有一段有趣的历史。每个地图可以导出
一个图，其中国家都是点，当相应的两个国家相邻时这两个点用一条线来连接。所
以四色猜想是图论中的一个问题。它对图的着色理论、平面图理论、代数拓扑图论
等分支的发展起到推动作用。